Het vermoeden van Malle en kransproducten van symmetrische groepen

Abstract

Allereerst geven we wat voorkennis en introduceren we het vermoeden van Malle. Daarna definiëren we wat kransproducten en k-voudig kransproducten zijn en bekijken we hoe we Galoisgroepen kunnen vinden die isomorf zijn aan kransproducten van symmetrische groepen. Het zal blijken dat automorfismegroepen van n-aire volledige bomen van diepte k isomorf zijn aan het k-voudig kransproduct van S_n. We bekijken een asymptotische ondergrens voor het aantal getallenlichaamsuitbreidingen met begrensde discriminant en Galoisgroep van de Galoisafsluiting isomorf aan kransproducten van symmetrische groepen. Deze ondergrens bewijst daarentegen niet het vermoeden van Malle (voor deze gevallen). Als laatste doen we een beknopte analyse op het bewijs van dit resultaat en proberen we een lemma hiervan te herbewijzen voor alternerende groepen.